Question

【題目】已知圓和點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，圓心的軌跡為曲線

（1）求曲線的方程；

（2）點(diǎn)是曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，若直線的斜率滿足求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）．

【解析】試題分析：（1）利用圓與圓的位置關(guān)系，得出曲線是為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，即可求曲線的方程；（2）聯(lián)立方程組，得，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，得出直線過定點(diǎn)，表示出面積，即可，求面積的最大值.

試題解析：（1）圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)在圓內(nèi)，因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，所以動(dòng)圓與圓內(nèi)切．設(shè)動(dòng)圓半徑為，則．因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)，所以， ，所以曲線是為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．由．得，所以曲線的方程為．

（2）直線斜率為0時(shí)，不合題意，設(shè)，直線，

聯(lián)立方程組，得， ，

又，知

．

代入得，

又，化簡(jiǎn)得，

解得，故直線過定點(diǎn)，由，解得，

，

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），綜上， 面積的最大值為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程和最值問題，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形面積最大值的.