Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實數(shù)，使得恒成立且有唯一零點，若存在，求出滿足， 的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）．

【解析】試題分析：（1）由在定義域上單調(diào)遞減，則恒成立，求的最大值小于等于0即可.

(2) 當(dāng)時， ，∴恒成立，當(dāng)時，由（1）知， 在內(nèi)單調(diào)遞減，分， 兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性和零點.

試題解析：（1）由已知，函數(shù)的定義域為，

由在定義域上單調(diào)遞減，則恒成立，

，所以，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減．即在內(nèi)單調(diào)遞增， 內(nèi)單調(diào)遞減，

所以．

（2）當(dāng)時， ，∴恒成立，

當(dāng)時，由（1）知， 在內(nèi)單調(diào)遞減，

（i）若，

由（1）知， 在內(nèi)單調(diào)遞減，

則， 無零點，不符合題意;

（ii）若，

設(shè)， ，

所以，又，

所以存在，使得，即，①

且當(dāng)故當(dāng)時，有，當(dāng)時，有，

則在內(nèi)單調(diào)遞增， 內(nèi)單調(diào)遞減，

由于恒成立，且有唯一零點，∴．②

結(jié)合①，②知，③

聯(lián)立得

設(shè)，則， ，

且當(dāng)時， ，所以在上有唯一零點．

即滿足方程組③的唯一，且．

設(shè)， ，所以在上單調(diào)遞增，

，

即滿足方程組③的，所以.

綜上所述，存在即，使得恒成立且有唯一零點．