Question

【題目】已知函數(shù)的定義域為，對于任意的都有，設(shè)時， .

（1）求；

（2）證明：對于任意的， ；

（3）當時，若不等式在上恒定成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ; (2)詳見解析;(3) .

【解析】試題分析：（1）令， ， ；（2）令， ， ， ，結(jié)合時， 即可得結(jié)果；（3）先證明函數(shù)在單調(diào)遞減，根據(jù)，將原不等式化為，可得化簡，利用不等式恒成立可得結(jié)果..

試題解析：（1）令， ， .

（2）由題意當時，

由（1）知，當，

所以下證，當時，

， .

（3）

令， ， ，假設(shè)，

故函數(shù)在單調(diào)遞減，

化簡得：

， .

【方法點晴】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域、抽象函數(shù)的單調(diào)性及抽象函數(shù)解不等式，屬于難題.根據(jù)抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式應(yīng)注意以下三點：（1）一定注意抽象函數(shù)的定義域（這一點是同學們?nèi)菀资韬龅牡胤�，不能掉以輕心）；（2）注意應(yīng)用函數(shù)的奇偶性（往往需要先證明是奇函數(shù)還是偶函數(shù)）；（3）化成 后再利用單調(diào)性和定義域列不等式組.