【題目】已知中心在原點的橢圓
的兩焦點分別為雙曲線
的頂點，直線
與橢圓
交于
、
兩點，且
，點
是橢圓
上異于
、
的任意一點，直線
外的點
滿足
， 
．
（1）求點
的軌跡方程；
（2）試確定點
的坐標，使得
的面積最大，并求出最大面積．
【答案】（1）點
的軌跡是橢圓
除去四個點
， 
， 
， 
，其方程為
（
， 
）；（2）
，點
的坐標為
或
.
【解析】試題分析：（1）由已知雙曲線的頂點可得橢圓焦點，再由橢圓過定點可解得參數(shù)
的值，得到橢圓方程；由已知條件設(shè)出點
的坐標，再由已知向量積為零可得兩坐標值的關(guān)系，再由點
在橢圓上，分析可得點
的軌跡方程；
（3）由點到直線距離可得三角形面積表達式，由均值不等式可得面積最大值及此時
點坐標。
試題解析：
（1）由
的焦點為
的頂點，得
的焦點
， 
．
令
的方程為
，因為
在
上，所以
．
于是由
解得
， 
，所以
的方程為
．
由直線
與橢圓
交于
、
兩點，知
、
關(guān)于原點對稱，所以
．
令點
， 
，則
， 
，
， 
．
于是由
， 
，得
即
兩式相乘得
．
又因為點
在
上，所以
，即
，
代入
中，得
．
當(dāng)
時，得
；
當(dāng)
時，則點
或
，此時
或
，也滿足方程
．
若點
與點
重合，即
時，由
解得
或
．
若點
與點
重合時，同理可得
或
．
綜上，點
的軌跡是橢圓
除去四個點
， 
， 
， 
，其方程為
（
， 
）．
（2）因為點
到直線
的距離
， 
，
所以
的面積
.
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
或
，
此時點
的坐標為
或
．
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知焦點在
軸上的橢圓
的中心是原點
，離心率為雙曲線
離心率的一半，直線
被橢圓
截得的線段長為
.直線
： 
與
軸交于點
，與橢圓
交于
兩個相異點，且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）是否存在實數(shù)
，使
？若存在，求
的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）判斷函數(shù)
的奇偶性；
（2）對任意兩個實數(shù)
，求證：當(dāng)
時， 
；
（3）對任何實數(shù)
， 
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)＝sinx－
cosx＋2，記函數(shù)f(x)的最小正周期為β，向量a＝(2，cosα)，b＝(1，tan(α＋
))(0<α<
)，且a·b＝
．
(1)求f(x)在區(qū)間
上的最值；
(2)求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
的定義域為
，對于任意的
都有
，設(shè)
時， 
.
（1）求
；
（2）證明：對于任意的
， 
；
（3）當(dāng)
時，若不等式
在
上恒定成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓的兩個焦點坐標分別是
，并且經(jīng)過點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若斜率為
的直線
經(jīng)過點
，且與橢圓交于不同的兩點
,求
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（Ⅰ）求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當(dāng)
時， 
；
（Ⅲ）若
對任意
恒成立，求實數(shù)
的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】關(guān)于二項式(x－1)2 013有下列命題：
(1)該二項展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是1；
(2)該二項展開式中第六項為C2 0136x2 007；
(3)該二項展開式中系數(shù)最大的項是第1 007項；
(4)當(dāng)x＝2 014時，(x－1)2 013除以2 014的余數(shù)是2 013.
其中正確命題有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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