Question

如圖，P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P和直線AC₁確定的平面為α，過點(diǎn)P與直線AC₁垂直的平面為β，則下列命題正確的序號是

 

①α⊥β；
②平面α將正方體分割為體積相等的兩部分；
③β截正方體所得截面多邊形可能是四邊形；
④β截正方體所得截面多邊形的面積是定值；
⑤當(dāng)且僅當(dāng)P是A₁D₁的中點(diǎn)時(shí)，α截正方體所得截面多邊形周長最小．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由面面垂直的判定定理可判斷①；運(yùn)用正方體的對稱性即可判斷②；可根據(jù)截面A₁BD和截面B₁CD₁都和直線AC₁垂直，可知β截正方體所得截面介于截面A₁BD和截面B₁CD₁之間，從而判斷③；可考慮P為中點(diǎn)時(shí)的截面面積，可判斷④；延長DD₁至點(diǎn)E，使得DD₁=D₁E，討論P(yáng)為中點(diǎn)時(shí)的截面周長，可判斷⑤．

解答： 解：①因?yàn)槠矫姒吝^AC₁，且AC₁⊥β，
所以α⊥β，故①正確；
②由于平面α經(jīng)過直線AC₁，
由對稱性易知②正確；
③由于AC₁⊥截面A₁BD和AC₁⊥截面B₁CD₁，
β截正方體所得截面介于截面A₁BD和
截面B₁CD₁之間，可以是三角形或六邊形，
故③錯(cuò)；
④當(dāng)P為A₁D₁的中點(diǎn)時(shí)的截面面積與三角形A₁BD的面積顯然不等，故④錯(cuò)；
⑤延長DD₁至點(diǎn)E，使得DD₁=D₁E，
則有AP+PC₁=AP+EP≥AE，
當(dāng)且僅當(dāng)P是A₁D₁的中點(diǎn)時(shí)，等號成立，
此時(shí)結(jié)合對稱性知截面多邊形的周長最小，
故⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點(diǎn)評：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面垂直、面面垂直的判定，同時(shí)考查空間想象能力和判斷能力．