Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)（為常數(shù)，）.
（Ⅰ）若是函數(shù)的一個極值點，求的值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時，在上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若對任意的（1，2），總存在，使不等式成立，求實數(shù)的取范圍.

Answer 1

（Ⅰ）滿足條件；（Ⅱ）在上是增函數(shù)；（Ⅲ）實數(shù)的取值范圍為.

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。以及不等是的求解，和函數(shù)單調(diào)性的判定的綜合運用。
（1）因為
由已知，得即， 得到a的值，
（2）當(dāng)時， 
當(dāng)時，.又，故在上是增函數(shù)
（3）當(dāng)時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為
于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立.
利用構(gòu)造函數(shù)得到結(jié)論。
解：……………1分
（Ⅰ）由已知，得即，……3分
經(jīng)檢驗，滿足條件.……………………………………4分
（Ⅱ）當(dāng)時，…………5分
當(dāng)時，.又，故在上是增函數(shù)
（Ⅲ）當(dāng)時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為
于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立.
記
則…………………………9分
當(dāng)時，有，且在區(qū)間（1，2）上遞減，且，則不可能使恒成立，故必有…………11分
當(dāng)，且
若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上有，與恒成立矛盾，故，這時，即在（1，2）上遞增，恒有滿足題設(shè)要求.
，即，所以，實數(shù)的取值范圍為.……………………14分