Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，，平面平面ABC，點(diǎn)D在線段BC上，且，F是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是PD上的動點(diǎn).

（1）證明：.

（2）當(dāng)EF//平面PAC時，求三棱錐C-DEF的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 ；(2) .

【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得.通過中位線和等腰三角形的性質(zhì)，證得，由此證得平面，進(jìn)而證得l;（2）利用面面平行的判定定理證得，由此求得點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面距離的三分之一，進(jìn)而利用，求得三棱錐的體積.

（1）連接，因?yàn)?/span>，F為AB的中點(diǎn)，

所以.

又平面平面ABC，平面平面，

所以平面ABC，從而

設(shè)BC的中點(diǎn)H，連接,因?yàn)?/span>，DF是的中位線，

所以.

因?yàn)?/span>，是中點(diǎn)，，所以

所以平面PDF

因?yàn)?/span>平面PDF，所以

（2）設(shè)點(diǎn)E到平面ABC的距離為，由（1）知，則平面，而平面，，所以平面平面，

所以.

所以，

又，

所以