Question

【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）.

⑴當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；

⑵討論的單調(diào)性；

⑶當(dāng)時(shí)，證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程；

（2）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，對分和兩種情況進(jìn)行分類討論，研究導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）證明不等式成立等價(jià)于證明成立，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.

（1）當(dāng)時(shí)，.

所以，

所以，又.

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即.

（2）易得（）.

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，得.

則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在處取得最大值，

即

，

則等價(jià)于，即，

即.（※）

令，則.不妨設(shè)（），

所以（）.

從而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí).

所以當(dāng)時(shí)，總有.

即當(dāng)時(shí)，不等式（※）總成立，

故當(dāng)時(shí)，成立.