Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，，，，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）先證，利用證明平面，即可證得，由等腰三角形證明，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)，，兩兩垂直建立建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角的大小．

試題解析：解：（1）證明：因?yàn)?/span>，，所以．

因?yàn)?/span>，且，所以平面．

因?yàn)?/span>平面，所以．

因?yàn)?/span>，是的中點(diǎn)，所以．

又，所以平面．

（2）解：，，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

設(shè)點(diǎn)，于是有，．

設(shè)平面的法向量，則即

令，得，，所以．

平面的法向量，所以，

即，所以．

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，與點(diǎn)的坐標(biāo)相同，所以．