Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）證明：

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

(1)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)有兩個(gè)不同的根，

然后利用數(shù)形結(jié)合求解即可

(2) 由(1)得，，得，不妨設(shè)，則結(jié)合圖象易得，，然后，構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論

（1）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)有兩個(gè)不同的根.

令，則，易得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）由(1)得，，不妨設(shè)，則結(jié)合圖象易得，，

令（），

則，

所以單調(diào)遞增，故，所以（）.

由條件知，

又，，以及由(1)得，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，

得，所以.