Question

【題目】如圖橢圓的離心率為， 其左頂點(diǎn)在圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.是否存在直線，使得？ 若存在，求出直線的斜率；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

由頂點(diǎn)在圓上可得，再根據(jù)離心率公式可得的值，結(jié)合的關(guān)系，可求出的值，然后得到所求的方程

聯(lián)立直線與橢圓方程求出，然后求得圓心到直線的距離，運(yùn)用圓的弦長(zhǎng)公式可得，化簡(jiǎn)整理，即可判斷是否存在

（1）因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)在圓上，所以.

又離心率為，所以，所以,

所以, 所以的方程為.

（2）（i）設(shè)點(diǎn)，顯然直線存在斜率，

設(shè)直線的方程為， 與橢圓方程聯(lián)立得,

化簡(jiǎn)得到，

因?yàn)?/span>為上面方程的一個(gè)根，所以，

所以 , 所以

圓心到直線的距離為， .

因?yàn)?/span>，

代入得到.

因?yàn)?/span> 所以 .