【題目】已知數(shù)列
的前
項和
滿足：
，數(shù)列
滿足：對任意
有
.
（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；
（2）記
，數(shù)列
的前項和為
，證明：當(dāng)
時，
．
【答案】（1）
，
（2）證明見解析.
【解析】
（1）本小題考察
與
的關(guān)系，當(dāng)
時利用
得到
，得到數(shù)列
是以
，公比
的等比數(shù)列，得出的通項公式，而當(dāng)時，根據(jù)
得到，需要驗證
時
的值；（2）根據(jù)（1）得到
，可以知道用錯位相減法求
的前
項和
，得到
，令
=
，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證得結(jié)論.
（1）當(dāng)時，
，所以，
當(dāng)
時，
，
所以數(shù)列是以，公比的等比數(shù)列，通項公式為.
由題意有
，得
.
當(dāng)時，
，于是得,故數(shù)列
的通項公式為．
（2） 證明：=
=
，所以
=
，
錯位相減得=
，所以
，
即，
下證：當(dāng)
時，
，令=，
=
=
當(dāng)時，
，即當(dāng)時，單調(diào)減，又
，
所以當(dāng)時，
，即，即當(dāng)時，
.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖橢圓
的離心率為
， 其左頂點
在圓
上.
（1）求橢圓
的方程；
（2）直線
與橢圓的另一個交點為
，與圓
的另一個交點為
.是否存在直線，使得
？ 若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（1）若函數(shù)
在
上單調(diào)遞減，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)，使得在
上的值域恰好是？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】農(nóng)科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢情況，從種植有甲、乙兩種麥苗的兩塊試驗田中各抽取6株麥苗測量株高，得到的數(shù)據(jù)如下（單位：cm）：
甲：9，10，11，12，10，20；
С：8，14，13，10，12，21.
（1）選擇合適的統(tǒng)計圖表表示上述數(shù)據(jù)；
（2）分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差，并由此判斷甲、乙兩種麥苗的長勢情況.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
（
為常數(shù)）．
（1）若函數(shù)
與函數(shù)
在
處有相同的切線，求實數(shù)
的值；
（2）若
，且
，證明： 
；
（3）若對任意
，不等式恒
成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某中學(xué)調(diào)查了某班全部
名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）
參加書法社團 | 未參加書法社團 | |
參加演講社團 |
|
|
未參加演講社團 |
|
|
（1）從該班隨機選
名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率；
（2）在既參加書法社團又參加演講社團的
名同學(xué)中，有5名男同學(xué)
名女同學(xué)
現(xiàn)從這
名男同學(xué)和名女同學(xué)中各隨機選人，求
被選中且
未被選中的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取
名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段
后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（1）求分數(shù)在
內(nèi)的頻率，補全這個頻率分布直方圖，并據(jù)此估計本次考試的平均分；
（2）用分層抽樣的方法，在分數(shù)段為
的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2個，求至多有1人在分數(shù)段內(nèi)的概率
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