Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若是的極值點(diǎn)， 求函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若時，，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合 f′（1）＝0求得a＝1，代入導(dǎo)函數(shù)，得到f′（x），再由y＝x2+ln x﹣1 在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且x＝1時y＝0，可得當(dāng)0＜x＜1 時，f′（x）＜0，f （x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1 時，f′（x）＞0，f （x）單調(diào)遞增；

（2）由 f （x）≤0，得axa≤0，可得a，令g（x），利用二次求導(dǎo)可得其最小值，則a的范圍可求．

（1）

因為是的極值點(diǎn)，

所以，可得．

所以，.

因為在上單調(diào)遞增，且時，，

所以時，，，單調(diào)遞減；

時， ，，單調(diào)遞增．

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）由得，

因為，所以.

設(shè)，

則.

令，

則，

顯然在內(nèi)單調(diào)遞減，且，

所以時，，單調(diào)遞減，

則，即，

所以在內(nèi)單減，從而.

所以.