Question

【題目】已知曲線E上任一點(diǎn)P到直線l：x＝4的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)M(1，0)的距離的2倍.

（1）求曲線E的方程；

（2）過點(diǎn)A(2，0)作兩條互相垂直的直線分別交曲線E于B、D兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)A)，又C(－2，0)，求四邊形ABCD的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)，結(jié)合題意得到，化簡即可求得曲線的方程；

（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，進(jìn)而得到，利用面積公式，求得四邊形的不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

（1）設(shè)，

因?yàn)榍�線E上任一點(diǎn)P到直線l：x＝4的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)M(1，0)的距離的2倍，

即，兩邊平方并整理得

即曲線的方程為.

（2）由題意，可得直線的斜率存在且不為0，可設(shè)的方程為，

聯(lián)立方程組，整理得，

因?yàn)?/span>是其一個根，所以解得另一根即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>，所以把換成得的橫坐標(biāo)為，

則、的縱坐標(biāo)之差為，

所以四邊形的面積

令，則，可得（），

又由函數(shù)在是增函數(shù)，

所以可得當(dāng)時為單調(diào)遞減，所以時，取得最大值，

此時，解得，

所以四邊形的面積的最大值為.