Question

已知函數(shù)f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2015

2015

，設F（x）=f（x+4），且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，圓x²+y²=b-a的面積的最小值是

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：利用導數(shù)可判斷f（x）在R上是增函數(shù)，利用零點判定定理可知f（x）的零點在[-1，0]內，從而F（x）的零點在[-5，-4]內，于是可得b-a的最小值為1，進而可得答案．

解答： 解：f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2014=

1+x2015

1+x

＞0（x≠-1，x≠0），
又f'（-1）=2015＞0，f'（0）=1＞0，
故f（x）在R上是增函數(shù)．
∵f（0）=1＞0，f（-1）＜0，
∴f（x）的零點在[-1，0]內，F(xiàn)（x）的零點在[-5，-4]內，b-a的最小值為1．
∴圓面積最小值為π．
故答案為：π．

點評：此題是難題．考查函數(shù)零點判定定理和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及數(shù)列求和問題以及函數(shù)圖象的平移，體現(xiàn)了分類討論的思想，以及學生靈活應用知識分析解決問題的能力