Question

如圖，△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，PA是圓O的切線，PB交AC于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)D，若PA=PE，PB=9，PD=1，∠ABC=60°，則EC的長等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：利用切割線定理結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)，得PA=3，由弦切角定理結(jié)合有一個(gè)角為60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，從而求出EC的長．

解答： 解：∵PA是圓O的切線，
∴PA²=PD•PB=9，可得PA=3
∵∠PAC是弦切角，夾弧ADC
∴∠PAC=∠ABC=60°，
∵△ADE中，PE=PA，
∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3
∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2
∵圓O中，弦AC、BD相交于E，
∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，EC=4
故答案為：4．

點(diǎn)評：本題在圓中給出切線，并且以切線長為一邊作正三角形的情況下，求線段的長度．著重考查了切線的性質(zhì)、正三角形的判定和相交弦定理等知識，屬于基礎(chǔ)題．