Question

【題目】已知函數(shù)，．

（）若函數(shù)的最小值為，求的值．

（）證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題（1）由題意得，的最小值問題，需要借助于導(dǎo)數(shù)，對(duì)比極值與端點(diǎn)值確定，而由最值也可確定出未知量；（2）借助第一問，將問題轉(zhuǎn)化成最常見的形式：.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>，且.若，則，于是在上單調(diào)遞增，故無最小值，不合題意，若，則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.于是當(dāng)時(shí)，取得最小值.由已知得, 解得.綜上，.

（2）①下面先證當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?/span>, 所以只要證.由（1）可知, 于是只要證，即只要證, 令，則,當(dāng)時(shí)，, 所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，故當(dāng)時(shí)，不等式成立 .② 當(dāng)時(shí)，由（1）知, 于是有，即,所以, 即,又因?yàn)?/span>, 所以,所以

,綜上，不等式

成立.