Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，是的中點，.

（1）求證：平面；

（2）若，，點在側(cè)棱上，且，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）設(shè)是的中點，可得，所以，又由，可得平面.

（2）由二面角的定義找到二面角的平面角，得到，建系求得平面的一個法向量及直線的方向向量，利用公式求解.

（1）平行四邊形中，設(shè)是的中點，連結(jié)

因為是的中點，所以

又由，得

所以，平行四邊形中，，則

又由，且，平面，平面，

故平面

（2）由（1）知平面，

又平面，

于是平面平面，連結(jié)，

由，可得，

則，又

所以平面

得，

故二面角的平面角為

由此得

以為原點，，，方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，由可知點，

則，，

設(shè)平面的一個法向量為，

由 得

設(shè)直線與平面所成角為

所以