Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底， ）的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）設(shè)點(diǎn)， 是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，若對任意的，割線的斜率都大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）由 ，記，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；（2）對任意的，割線的斜率都大于，即，記 ，研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.

試題解析：

（1）時(shí)，由 ，記，

，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，所以當(dāng)時(shí)， 取得極小值，

①當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；

②當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2），

， ，

依題意：對任意的，都有，

即，

記 ， ，

記，則. 記，

則，

所以時(shí)， 遞增，所以，

①當(dāng)即時(shí)， ，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以恒成立；

②當(dāng)即時(shí)，因?yàn)?/span>時(shí)， 遞增，所以，

所以存在，使得時(shí)， 即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以時(shí)， 即，

所以時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以時(shí)， ，從而不恒成立。綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是．