Question

【題目】已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，圓：.

（1）當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，求直線(xiàn)的一般方程；

（2）若直線(xiàn)與圓相交，且弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的一般方程.

Answer 1

【答案】（1）或（2）；

【解析】

（1）把圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)方程，討論直線(xiàn)斜率存在或不存在時(shí)是否與圓相切的情況。當(dāng)不存在時(shí)，可直接判斷相切；當(dāng)斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)斜式表示出直線(xiàn)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即可求得斜率k，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程。

（2）根據(jù)弦長(zhǎng)與半徑，求得圓心到直線(xiàn)的距離；利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線(xiàn)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離即可求得斜率k，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程。

解：（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，

所以圓的圓心為，半徑為1，

因?yàn)橹本�(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與圓相切，

此時(shí)直線(xiàn)的方程為；

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線(xiàn)的方程為，

化為一般式為。

因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相切，所以，得，

此時(shí)直線(xiàn)的方程為

綜上所述，直線(xiàn)方程為或

（2）因?yàn)橄议L(zhǎng)為，所以圓心到直線(xiàn)的距離為，

此時(shí)直線(xiàn)的斜率一定存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，圓心到直線(xiàn)的距離，

由，得，

所以

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的一般方程為；

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的一般方程為