【題目】已知函數(shù)
．
(1)求證：
；
(2)用
表示
中的最大值，記
，討論函數(shù)
零點的個數(shù)．
【答案】（1）見解析，（2）見解析
【解析】
(1) 設(shè)
求出函數(shù)的最小值即可；
(2) 對x和a的范圍進(jìn)行討論，得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，利用單調(diào)性及最值判斷f（x），g（x）的零點個數(shù)，從而得出h（x）的零點個數(shù)．
（1）證明：設(shè)
，定義域為
，
則
.
當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
，
故
在
內(nèi)是減函數(shù)，在
內(nèi)是增函數(shù)，
所以
是的極小值點，也是的最小值點，
所以
，所以
（2）解：函數(shù)
的定義域為
，
，
當(dāng)時，
；當(dāng)時，
，
所以
在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，
所以是的極小值點，也是的最小值點，
即
若
，則
，
當(dāng)時，
；當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
.
所以
，于是
只有一個零點.
當(dāng)
，則當(dāng)
時，，此時
，
當(dāng)時，
，
，此時
所以沒有零點.
當(dāng)
，則當(dāng)時，根據(jù)（1）可知，
而
，所以
又因為
，所以在上有一個零點
，
從而一定存在
，使得
，
即
，所以
.
當(dāng)
時，
，
所以
，從而
，
于是有兩個零點和1.
故當(dāng)時，有兩個零點.
綜上，當(dāng)時，有一個零點，當(dāng)
時，沒有零點，當(dāng)時，有兩個零點.
互動課堂系列答案
激活思維智能訓(xùn)練課時導(dǎo)學(xué)練系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
：
的焦點為
，
為拋物線上一點，
為坐標(biāo)原點，
的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且外接圓的周長為
.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知點
，設(shè)不垂直于
軸的直線
與拋物線交于不同的兩點
，
，若
，證明直線過定點并寫出定點坐標(biāo).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在五棱錐
中，側(cè)面
底面
，
是邊長為2的正三角形，四邊形
為正方形，
，且
，
是的重心，
是正方形的中心.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在某公司舉行的一次真假游戲的有獎競猜中，設(shè)置了“科技”和“生活”這兩類試題，規(guī)定每位職工最多競猜3次，每次競猜的結(jié)果相互獨立．猜中一道“科技”類試題得4分，猜中一道“生活”類試題得2分，兩類試題猜不中的都得0分．將職工得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于4分就認(rèn)為通過游戲的競猜，立即停止競猜，否則繼續(xù)競猜，直到競猜完3次為止．競猜的方案有以下兩種：方案1：先猜一道“科技”類試題，然后再連猜兩道“生活”類試題；
方案2：連猜三道“生活”類試題．
設(shè)職工甲猜中一道“科技”類試題的概率為0.5，猜中一道“生活”類試題的概率為0.6．
(1)你認(rèn)為職工甲選擇哪種方案通過競猜的可能性大?并說明理由．
(2)職工甲選擇哪一種方案所得平均分高?并說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某公司計劃投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，預(yù)計能獲得10萬元
1000萬元的收益.現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對開發(fā)科研小組的獎勵方案:獎金
(單位:萬元)隨收益
(單位:萬元)的增加而增加，且獎金總數(shù)不超過9萬元，同時獎金總數(shù)不超過收益的
.
（Ⅰ）若建立獎勵方案函數(shù)模型
，試確定這個函數(shù)的定義域、值域和
的范圍；
（Ⅱ）現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型:①
；②
.試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司的要求?請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某網(wǎng)絡(luò)平臺從購買該平臺某課程的客戶中，隨機(jī)抽取了100位客戶的數(shù)據(jù)，并將這100個數(shù)據(jù)按學(xué)時數(shù)，客戶性別等進(jìn)行統(tǒng)計，整理得到如表：
學(xué)時數(shù) |
|
|
|
|
|
|
|
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
（1）根據(jù)上表估計男性客戶購買該課程學(xué)時數(shù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）；
（2）從這100位客戶中，對購買該課程學(xué)時數(shù)在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取2人，求這2人購買的學(xué)時數(shù)都不低于15的概率．
（3）將購買該課程達(dá)到25學(xué)時及以上者視為“十分愛好該課程者”，25學(xué)時以下者視，為“非十分愛好該課程者”．請根據(jù)已知條件完成以下
列聯(lián)表，并判斷是否有99．9%的把握認(rèn)為“十分愛好該課程者”與性別有關(guān)？
非十分愛好該課程者 | 十分愛好該課程者 | 合計 | |
男性 | |||
女性 | |||
合計 | 100 |
附：
，
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面
為直角梯形，
，且
，
，
，平面
底面，
為
的中點，
為等邊三角形，
是棱
上的一點，設(shè)
（與
不重合）.
（1）若
平面
，求
的值；
（2）當(dāng)
時，求二面角
的大小.
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