Question

【題目】已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，為邊的中點(diǎn)，沿將折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為_____

Answer 1

【答案】

【解析】

先證明AD⊥平面BCD，利用二面角的定義得知∠BDC＝90°，利用勾股定理可得出△BCD的外接圓直徑為BC，設(shè)R為三棱錐A﹣BCD的外接球的半徑，得 ，再利用球體表面積公式可得出答案．

如圖所示，

折疊前，由于△ABC時(shí)等邊三角形，D為BC的中點(diǎn)，則AD⊥BC，

折疊后，則有AD⊥CD，AD⊥BD，∵BD∩CD＝D，∴AD⊥平面BCD，

∵二面角B﹣AD﹣C為直二面角，∵AD⊥BD，AD⊥CD，則二面角B﹣AD﹣C的平面角為∠BDC＝90°，

且 ，

Rt△BCD的外接圓直徑為，

所以，三棱錐A﹣BCD的外接球半徑為，

因此，三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為4πR2＝80π．

故答案為：80π