Question

【題目】如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，為棱的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值是，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)二面角的空間向量求法可求得結(jié)果；

（3）利用共線向量和向量線性運(yùn)算表示出，根據(jù)直線與平面所成角的空間向量求法可構(gòu)造方程求得，從而得到，求解的模長即為所求結(jié)果.

（1）以為原點(diǎn)可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系

則，，，，，

，

（2）由（1）知：，

平面，平面

又，平面， 平面

平面的一個(gè)法向量為

設(shè)平面的法向量

則，令，則，

二面角的正弦值為

（3）由（1）知：，

設(shè)，

平面，平面

又，平面， 平面

平面的一個(gè)法向量為

設(shè)為直線與平面所成角

則，解得：

則 ，即的長為