Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離與最近距離分別是與，的左頂點(diǎn)為與軸平行的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，過(guò)、兩點(diǎn)且分別與直線(xiàn)、垂直的直線(xiàn)相交于點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明點(diǎn)在一條定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線(xiàn)的方程；

（3）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)可以由橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離與最近距離分別是與得到兩個(gè)方程，解方程即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，顯然直線(xiàn)，，，的斜率都存在，設(shè)為，，，，求出它們的表達(dá)式，求出直線(xiàn)，的方程，消去，最后可以證明點(diǎn)在一條定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)；

（3）由（2）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，再利用均值不等式求出面積的最大值.

（1）因?yàn)闄E圓：上的動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離與最近距離分別是與，所以有，

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，，顯然直線(xiàn)，，，的斜率都存在，設(shè)為，，，，則，，，，所以直線(xiàn)，的方程為：，，消去得，化簡(jiǎn)得，故點(diǎn)在定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).

（3）由（2）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

又，所以，則，

所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

將代入得，

所以面積

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故時(shí)，面積的最大值為.