Question

若不等式|x-a|+

1

x

≥

1

2

在x＞0上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、a≤2
• B、a＜2
• C、a＞2
• D、a≥2

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：通過對x-a＞0與x-a≤0的討論，去掉原不等式中的絕對值符號，分離參數(shù)a，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得答案．

解答： 解：①當(dāng)x-a＞0，|x-a|+

1

x

≥

1

2

?x-a+

1

x

≥

1

2

?a+

1

2

≤(x+

1

x

)min，
∵x＞0，x+

1

x

≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

x

=1時(shí)取“=”），即(x+

1

x

)min=2，
∴a≤

3

2

；
②當(dāng)x-a≤0，即0＜x≤a時(shí)，原不等式化為：a-x+

1

x

≥

1

2

?a≥x-

1

x

+

1

2

，
∵y=x與y=-

1

x

在（0，a]上均為增函數(shù)，
∴y=x-

1

x

+

1

2

在（0，a]上為增函數(shù)，于是，當(dāng)x=a時(shí)，y_max=a-

1

a

+

1

2

，
∴a≥a-

1

a

+

1

2

，
解得：0＜a≤2；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于難題．