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        1. 如圖,直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直.,,
          ,
          (1)求證:;
          (2)求直線與平面所成角的正弦值;

          (1)取中點(diǎn),連結(jié),.證得,由四邊形為直角梯形,得到,證得平面.推出
          (2)直線與平面所成角的正弦值為

          解析試題分析:(1)證明:取中點(diǎn),連結(jié),

          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/51/a/lp5jy.png" style="vertical-align:middle;" />,所以            2分
          因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e8/8/ggb3a1.png" style="vertical-align:middle;" />為直角梯形,
          ,
          所以四邊形為正方形,所以.     4分
          所以平面.   
          所以 .            6分        
          (2)解法1:因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/aa/4/itvnl3.png" style="vertical-align:middle;" />平面,且
          所以BC⊥平面                          8分
          即為直線與平面所成的角               9分
          設(shè)BC=a,則AB=2a,,所以
          則直角三角形CBE中,          。11分
          即直線與平面所成角的正弦值為.            。12分
          解法2:因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/aa/4/itvnl3.png" style="vertical-align:middle;" />平面,且 ,

          所以平面,所以
          兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 因?yàn)槿切?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/82/5/1xmlo3.png" style="vertical-align:middle;" />為等腰直角三角形,所以,設(shè),

          所以 ,平面的一個(gè)法向量為
          設(shè)直線與平面所成的角為,
          所以 ,           
          即直線與平面所成角的正弦值為.(參照解法1給步驟分)     12分
          考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系,角的計(jì)算。
          點(diǎn)評(píng):典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離及體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟,利用向量則能簡化證明過程。本題給出了兩種解法,便于比較借鑒。

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖四棱錐E—ABCD中,底面ABCD是平行四邊形!螦BC=45°,BE=BC=   EA=EC=6,M為EC中點(diǎn),平面BCE⊥平面ACE,AE⊥EB

          (I)求證:AE⊥BC (II)求四棱錐E—ABCD體積

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          已知正方體中,面中心為

          (1)求證:;
          (2)求異面直線所成角.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn),且.證明:平面PAD⊥平面PDC.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          長方體中,底面是正方形,,上的一點(diǎn).

          ⑴求異面直線所成的角;
          ⑵若平面,求三棱錐的體積;

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖,中,側(cè)棱與底面垂直,,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

          (1)證明:;
          (2)求二面角的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖,為圓的直徑,點(diǎn)、在圓上,矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直,且.

          (Ⅰ)求證:平面;
          (Ⅱ)求三棱錐的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖。在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中點(diǎn)。

          (I)求證:A1B∥平面AMC1;
          (II)求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值;
          (Ⅲ)試問:在棱A1B1上是否存在點(diǎn)N,使AN與MC1成角60°?若存在,確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,

          (Ⅰ)求證:;
          (Ⅱ)若,求二面角的余弦值.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案