Question

（本小題滿分12分）如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.
 
(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值.

Answer 1

(I) .(II) 時，取得最大值.

試題分析：（1）根據(jù)已知中的離心率和矩形的面積得到a,b,c的方程，進而求解橢圓方程。
（2）將已知中的直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，那么得到弦長公式，同時以及得到點S,T的坐標(biāo)，進而得到比值。
(I)……①
矩形ABCD面積為8，即……②
由①②解得：， ∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
(II)，
設(shè)，則，
當(dāng)  .
當(dāng)時，有，
，
其中，由此知當(dāng)，即時，取得最大值.
點評：解決該試題的關(guān)鍵是運用代數(shù)的方法來解決解析幾何問題時，解析幾何的本質(zhì)。能結(jié)合橢圓的性質(zhì)得到其方程，并聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理和判別式的到比值。