Question

（本小題滿分12分）
已知三棱柱，底面三角形為正三角形，側(cè)棱底面， ，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．
(Ⅰ) 求證：直線平面；
（Ⅱ）求平面和平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

法一（Ⅰ）取的中點(diǎn)為，連接，
則，，且，…………………………3分
則四邊形為平行四邊形，
則，即平面．………………………………6分
（Ⅱ）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，
則即為平面與平面的交線，
且，
則為平面和平面所成的銳二面角的平面角．……8分
在中，．…………………………12分
法二 取中點(diǎn)為，連接，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，……………………2分
（Ⅰ）則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即………………4分
令，則，即，所以，
故直線平面．………………………………………………6分
（Ⅱ）設(shè)平面的法向量，
則．………………………………………………12分

略