Question

設(shè)n∈N^*，曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為a_n，則a₄為（　�。�

• A、80
• B、32
• C、192
• D、256

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)，由點斜式寫出切線方程，取x=0得到a_n，則答案可求．

解答： 解：由y=xⁿ（1-x），得：y′=nx^n-1（1-x）-xⁿ，
∴y′|x=2=-n•2n-1-2n，
又x=2時，y=-2ⁿ，
∴曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線方程為：y+2ⁿ=（-n•2^n-1-2ⁿ）（x-2），
取x=0得：y=（n+1）2ⁿ．
∴an=(n+1)2n．
則a₄=80．
故選：A．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線過該點的切線的斜率，是中檔題．