Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（8，0）、B（0，6），以AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，則另一頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，7），（14，8），（6，14）．

Answer 1

分析 分CA=CB、BC=BA、AC=AB三種情況，通過構(gòu)建全等三角形得出點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)即可得答案．

解答 解：①如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．

∵∠BCA=∠DCE=90°，
在△ACD與△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，CE=CD=OE，
∵AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，
CE²+（CE-6）²=BC²=50，
解得CE=7或-1（不合題意舍去）．
則點(diǎn)C坐標(biāo)為（7，7）；
②如圖2，過點(diǎn)B作BC⊥BA，使BC=BA，

∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，
∴∠AOB=∠BDC，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABO=∠BCD，
在△ABO和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDC}\\{∠ABO=∠BCD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCD，
∴CD=BO=6，BD=AO=8，
則OD=BO+BD=14，
∴點(diǎn)C（6，14）；
③如圖3，過點(diǎn)A作AC⊥AB，使AC=AB，

∴∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
∴∠AOB=∠CDA=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ABO和△CAD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CDA}\\{∠BAO=∠ACD}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=BO=6，CD=OA=8，
則OD=OA+AD=14，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（14，8），
綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，7），（14，8），（6，14），
故答案為：（7，7），（14，8），（6，14）．

點(diǎn)評 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是本題的關(guān)鍵，并注意分類思想的運(yùn)用．