Question

17．已知：如圖，在△ABC中，點D、G分別在邊AB、BC上，∠ACD=∠B，AG與CD相交于點F．
（1）求證：AC²=AD•AB；
（2）若$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DF}{CG}$，求證：CG²=DF•BG．

Answer 1

分析 （1）證明△ACD∽△ABC，得出對應邊成比例AC：AB=AD：AC，即可得出結論；
（2）由相似三角形的性質得出∠ADF=∠ACG，由已知證出△ADF∽△ACG，得出∠DAF=∠CAF，AG是∠BAC的平分線，由角平分線得出$\frac{AC}{AB}=\frac{CG}{BG}$，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC²=AD•AB；
（2）證明：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ADF=∠ACG，
∵$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DF}{CG}$，
∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF=∠CAF，
即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分線，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CG}{BG}$，
∴$\frac{DF}{CG}=\frac{CG}{BG}$，
∴CG²=DF•BG．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質以及角平分線的性質；熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．