Question

15．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E．
（1）求直線BC的解析式；
（2）當線段DE的長度最大時，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用坐標軸上點的特點求出A、B、C點的坐標，再用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；
（2）設點D的橫坐標為m，則坐標為（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），則E點的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m+2），設DE的長度為d，構建二次函數(shù)即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，
∴令y=0，可得x=1或4，
∴A（ 1，0），B（ 4，0）；
令x=0，則y=2，
∴C點坐標為（0，2），
設直線BC的解析式為：y=kx+b，則有，
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）設點D的橫坐標為m，則坐標為（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
∴E點的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
設DE的長度為d，
∵點D是直線BC下方拋物線上一點，
則d=-$\frac{1}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
整理得，d=-$\frac{1}{2}$m²+2m=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2，
∵a=-1＜0，
∴當m=2時，d_最大=2
∴D點的坐標為（ 2，-1）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的性質及其圖象與坐標軸的交點，設出D的坐標，利用二次函數(shù)最值得D點坐標是解答此題的關鍵．