Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．

（1）請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)y=ax²+x+c的表達(dá)式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（4）若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

（2）根據(jù)拋物線的解析式求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理分別求得AB²=20，AC²=80，BC10，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△ABC是直角三角形．

（3）分別以A、C兩點(diǎn)為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于三個(gè)點(diǎn)，由AC的垂直平分線與x軸交于一個(gè)點(diǎn)，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN=n+2，過(guò)M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求得MD=（n+2），然后根據(jù)S_△AMN=S_△ABN﹣S_△BMN

得出關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式求得即可．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），

∴，

解得．

∴拋物線表達(dá)式：y=﹣x²+x+4；

（2）△ABC是直角三角形．

令y=0，則﹣x²+x+4=0，

解得x₁=8，x₂=﹣2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0），

由已知可得，

在Rt△ABO中AB²=BO²+AO²=2²+4²=20，

在Rt△AOC中AC²=AO²+CO²=4²+8²=80，

又∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中AB²+AC²=20+80=10²=BC²

∴△ABC是直角三角形．

（3）∵A（0，4），C（8，0），

∴AC==4，

①以A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（﹣8，0），

②以C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（8﹣4，0）或（8+4，0）

③作AC的垂直平分線，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（3，0），

綜上，若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．

（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN=n+2，過(guò)M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，

∴MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴=，

∵M(jìn)N∥AC

∴=，

∴=，

∵OA=4，BC=10，BN=n+2

∴MD=（n+2），

∵S_△AMN=S_△ABN﹣S_△BMN

=BN•OA﹣BN•MD

=（n+2）×4﹣×（n+2）²

=﹣（n﹣3）²+5，

∴當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，勾股定理和逆定理，等腰三角形