Question

1．已知頂點(diǎn)為A（2，-1）的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（0，3），與x軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）；
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)AB、BD、DA，求△ABD的面積；
（3）點(diǎn)P在x軸正半軸上，如果∠APB=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，把（0，3）代入可得a=1，即可解決問題．
（2）首先證明∠ADB=90°，求出BD、AD的長即可解決問題．
（3）由△PDB∽△ADP，推出PD²=BD•AD=3$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$=6，由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵頂點(diǎn)為A（2，-1）的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（0，3），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，
把（0，3）代入可得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．

（2）令y=0，x²-4x+3=0，解得x=1或3，
∴C（1，0），D（3，0），
∵OB=OD=3，
∴∠BDO=45°，
∵A（2，-1），D（3，0），作AF⊥CD，則AF=DF=1
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠ADO=45°，
∴∠BDA=90°，
∵BD=3$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•BD•AD=3．

（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，
∴∠DBP=∠APD，
∵∠PDB=∠ADP=135°，
∴△PDB∽△ADP，
∴PD²=BD•AD=3$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$=6，
∴PD=$\sqrt{6}$，
∴OP=3+$\sqrt{6}$，
∴點(diǎn)P（3+$\sqrt{6}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法．三角形的面積、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．