Question

20．已知拋物線y=ax²+bx+4在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點(diǎn)分別為A（-1，0），B，P是其對(duì)稱軸x=1上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，得出以下結(jié)論：
①2a+b=0，
②x=3是方程ax²+bx+4=0的一個(gè)根，
③△PAB周長(zhǎng)的最小值是5+$\sqrt{17}$，
④9a+4＜3b．
其中正確的是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①根據(jù)對(duì)稱軸方程求得a、b的數(shù)量關(guān)系；
②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3；
③利用兩點(diǎn)間直線最短來(lái)求△PAB周長(zhǎng)的最小值；
④根據(jù)圖象知，當(dāng)x=-3時(shí)，y＜0，得到9a-3b+4＜0，即9a+4＜3b．

解答 解：①根據(jù)圖象知，對(duì)稱軸是直線x=-$\frac{2a}$=1，則b=-2a，即2a+b=0．
故①正確；
②根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），對(duì)稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），所以x=3是ax²+bx+3=0的一個(gè)根，故②正確；
③如圖所示，點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)是A′，即拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．
連接BA′與直線x=1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，
則△PAB周長(zhǎng)的最小值是（BA′+AB）的長(zhǎng)度．
∵A（-1，0），B（0，4），A′（3，0），
∴AB=$\sqrt{17}$，BA′=5．即△PAB周長(zhǎng)的最小值是5+$\sqrt{17}$．
故③正確；
④根據(jù)圖象知，當(dāng)x=-3時(shí)，y＜0，
∴9a-3b+4＜0，即9a+4＜3b，
故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間直線最短．解答該題時(shí)，充分利用了拋物線的對(duì)稱性．