Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點P對應(yīng)點P′），當AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．

（1）求證：∠CBP=∠ABP；

（2）求證：AE=CP；

（3）當，，BP′=5時，求線段AB的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）10.

【解析】

試題分析：：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P，再根據(jù)等角的余角相等證明即可；

（2）過點P作PD⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DP，從而得證；

（3）設(shè)CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．

試題解析：（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到，

∴AP=AP′，

∴∠APP′=∠AP′P，

∵∠C=90°，AP′⊥AB，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，

又∵∠BPC=∠APP′，

∴∠CBP=∠ABP；

（2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，

∴CP=DP，

∵P′E⊥AC，

∴∠EAP′+∠AP′E=90°，

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，

∴∠PAD=∠AP′E，

在△APD和△P′AE中，

，

∴△APD≌△P′AE（AAS），

∴AE=DP，

∴AE=CP；

（3）【解析】
∵，

∴設(shè)CP=3k，PE=2k，

則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，

在Rt△AEP′中，P′E==4k，

∵∠C=90°，P′E⊥AC，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，

∵∠BPC=∠EPP′，

∴∠CBP=∠EP′P，

又∵∠CBP=∠ABP，∴∠ABP=∠EP′P，

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，

∴△ABP′∽△EPP′，

∴，

即，

解得P′A=AB，

在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，

即AB2+AB2=（5）2，

解得AB=10．

考點：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.角平分線的性質(zhì)；3.勾股定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì)．