Question

9．如圖，直線y=kx+b與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，與拋物線y=x²相交于C，D，AC=$\sqrt{5}$，且sin∠OAB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求該直線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CP⊥OA于點(diǎn)P，由sin∠OAB=$\frac{CP}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$、AC=$\sqrt{5}$求得CP、AP的長，根據(jù)拋物線解析式及C點(diǎn)縱坐標(biāo)可得點(diǎn)C橫坐標(biāo)即OP的長，繼而求得點(diǎn)A、C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解可得直線解析式，由直線和拋物線解析式聯(lián)立方程組，解之可得點(diǎn)D坐標(biāo)．

解答 解：如圖，過點(diǎn)C作CP⊥OA于點(diǎn)P，

∵sin∠OAB=$\frac{CP}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=$\sqrt{5}$，
∴CP=1，
∴AP=$\sqrt{A{C}^{2}-C{P}^{2}}$=2，
在y=x²中，當(dāng)y=1時(shí)，有x²=1，
解得：x=±1，
∴OP=1，點(diǎn)C（1，1），
則A（3，0），
將點(diǎn)A（3，0）、C（1，1）代入y=kx+b得，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查解直角三角形、一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及相交問題，解直角三角形求得點(diǎn)A、C坐標(biāo)從而待定系數(shù)法求得解析式是解題的關(guān)鍵．