Question

如圖，拋物線y=x²-2x-2交x軸于A、B兩點，頂點為C，經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心為M．
（1）求圓心M的坐標；
（2）求⊙M上劣弧AB的長；
（3）在拋物線上是否存在一點D，使線段OC和MD互相平分？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵y=x²-2x-2∴y=（x-1）²-3，
∴對稱軸為x=1，頂點C（1，-3）．
又∵拋物線y=x²-2x-2與x軸交點A（1-

3

，0）、B（1+

3

，0），
∴AB=2

3

．
作拋物線對稱軸x=1交AB于點N，則N（1，0），
∴圓心M在對稱軸x=1上，連接MB，
∵⊙M中，MN⊥AB，
∴BN=

1

2

AB=

3

．
設(shè)⊙M半徑為r，則MC=MB=r，
∵C（1，-3），
∴CN=3
∴MN=CN-MC=3-r．
∵Rt△BMN中MN²+BN²=MB²
∴(3-r)2+(

3

)2=r2解得r=2
∴MN=3-r=3-2=1
∵ON=1
∴圓心M的坐標為（1，-1）

（2）∵△BMN中，∠MNB=90°，MB=r=2，MN=1
∴cos∠NMB=

MN

MB

=

1

2

∴∠NMB=60°
∴∠AMB=2∠NMB=120°
∴⊙M上劣弧AB的長為

120°×πr

180

=

4

3

π

（3）若線段OC和MD互相平分，則四邊形OMCD必定是平行四邊形，
∴MC∥OD且MC=OD．
∵MC=r=2，
∴點D即為點O向下平移2個單位得點，
∴點D坐標為（0，-2）．