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        1. 如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(經(jīng)過原點(diǎn))與x軸相交于N點(diǎn),直線y=kx+4與坐標(biāo)軸分別相交于A、D兩點(diǎn),與拋物線相交于B(1,m)和C(2,2)兩點(diǎn).
          (1)求直線與拋物線的表達(dá)式;
          (2)求證:C點(diǎn)是△AOD的外心;
          (3)若(1)中的拋物線,在x軸上方的部分,有一動(dòng)點(diǎn)P(x,y),設(shè)∠PON=α.當(dāng)sinα為何值時(shí),△PON的面積有最大值?
          (4)若P點(diǎn)保持(3)中運(yùn)動(dòng)路線,是否存在△PON,使得其面積等于△OCN面積的
          9
          16
          ?若存在,求出動(dòng)點(diǎn)P的位置;若不存在,請說出理由.
          (1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn),
          ∴其表達(dá)式可以寫成y=ax2+bx.
          ∵直線y=kx+4與拋物線相交于B、C兩點(diǎn),把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+4,得:
          2=2k+4
          m=k+4
          ,
          解得:
          k=-1
          m=3

          ∴直線是:y=-x+4,
          點(diǎn)B(1,3),C(2,2)代入二次函數(shù)的表達(dá)式,得:
          3=a+b
          2=4a+2b

          解得:
          a=-2
          b=5
          ,
          ∴拋物線的表達(dá)式為:y=-2x2+5x.

          (2)∵y=-x+4,令x=0,y=4;
          令y=0,x=4,
          ∴A(0,4),D(4,0).
          ∴AD=
          42+42
          =4
          2
          .而OC=2
          2
          ,
          ∴OC=
          1
          2
          AD.
          ∴C是Rt△AOD的外心.

          (3)通過分析知道,P為頂點(diǎn)時(shí),S△OPN面積最大.
          此時(shí),P(
          5
          4
          25
          8
          ),
          又∵方程-2x2+5x=0的兩根是x1=0,x2=
          5
          2
          ,即ON=
          5
          2

          ∴OP=
          (
          5
          4
          )
          2
          +(
          25
          8
          )
          2
          =
          5
          29
          8

          ∴sinα=
          25
          8
          5
          29
          8
          =
          25
          8
          ×
          8
          5
          29
          =
          5
          29
          29
          ,此時(shí)△PON有最大面積(底是相同的).

          (4)存在.
          理由:過點(diǎn)P作PE⊥x軸于N點(diǎn),
          設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-2x2+5x),
          ∴S△OCN=
          1
          2
          ON•PD=
          1
          2
          ×
          5
          2
          ×(-2x2+5x)=
          5
          4
          (-2x2+5x),
          ∵S△OCN=ON×2×
          1
          2
          =ON=
          5
          2

          又∵△PON的面積等于△OCN面積的
          9
          16
          ,
          5
          4
          (-2x2+5x)=
          5
          2
          ×
          9
          16

          解得:x1=
          1
          4
          ,x2=
          9
          4

          ∴當(dāng)x=
          1
          4
          時(shí),y=
          9
          8

          當(dāng)x=
          9
          4
          時(shí),y=
          9
          8
          ,
          ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
          1
          4
          ,
          9
          8
          )或(
          9
          4
          ,
          9
          8
          ).
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          拋物線y=a(x+6)2-3與x軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于C,D為拋物線的頂點(diǎn),直線DE⊥x軸,垂足為E,AE2=3DE.
          (1)求這個(gè)拋物線的解析式;
          (2)P為直線DE上的一動(dòng)點(diǎn),以PC為斜邊構(gòu)造直角三角形,使直角頂點(diǎn)落在x軸上.若在x軸上的直角頂點(diǎn)只有一個(gè)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (3)M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過M作直線MN⊥DM,交直線DE于N,當(dāng)M點(diǎn)在拋物線的第二象限的部分上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在使點(diǎn)E三等分線段DN的情況?若存在,請求出所有符合條件的M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(1,-5)和(-2,4)
          (1)求這條拋物線的解析式;
          (2)設(shè)此拋物線與直線y=x相交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),平行于y軸的直線x=m(0<m<
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          +1)與拋物線交于點(diǎn)M,與直線y=x交于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)P,求線段MN的長(用含m的代數(shù)式表示);
          (3)在條件(2)的情況下,連接OM、BM,是否存在m的值,使△BOM的面積S最大?若存在,請求出m的值;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知:二次函數(shù)y=a(x-1)2+4的圖象如圖所示,拋物線交y軸于點(diǎn)C,交x軸于A、B兩點(diǎn),用A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).
          (1)求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo).
          (2)連接AC、BC,E是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)(不與O、C兩點(diǎn)重合),過E點(diǎn)作直線PE⊥y軸交線段AC于點(diǎn)P,交線段BC于點(diǎn)Q.求證:
          CE
          CO
          =
          PQ
          AB

          (3)設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,n),在線段AB上是否存在一點(diǎn)R,使得以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,求出n的值,并畫出相應(yīng)的示意圖;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,已知A(0,1)、D(4,3),P是以AD為對角線的矩形ABDC內(nèi)部(不在各邊上)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C在y軸上,拋物線y=ax2+bx+1以P為頂點(diǎn).
          (1)能否判斷拋物線y=ax2+bx+1的開口方向?請說明理由.
          (2)設(shè)拋物線y=ax2+bx+1與x軸有交點(diǎn)F、E(F在E的左側(cè)),△EAO與△FAO的面積之差為3,且這條拋物線與線段AD有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
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          ,這時(shí)能確定a、b的值嗎?若能,請求出a、b的值;若不能,請確定a、b的取值范圍.(本題的圖形僅供分析參考用)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          把一根長100cm的鐵絲分為兩部分,每一部分均彎曲成一個(gè)正方形,它們的面積和最小是______cm2

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          張伯伯利用現(xiàn)有的一面墻(足夠長)和60米長的籬笆,把墻外的空地圍成四個(gè)相連且面積相等的矩形養(yǎng)兔場(如圖),設(shè)每個(gè)小矩形一邊的長為x米,設(shè)四個(gè)小矩形的總面積為y平方米,
          (1)請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
          (2)當(dāng)x為何值時(shí),y有最大值,求出最大值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知,平面直角坐標(biāo)系上有A(a,0)、B(0,-b)、C(b,0)三點(diǎn),且a≥b>0,拋物線y=(x-2)(x-m)-(n-2)(n-m).(m,n為常數(shù),且m+2≥2n>0),經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P
          (1)當(dāng)m,n滿足什么關(guān)系時(shí),S△AOB最大;
          (3)如圖,當(dāng)△ACP為直角三角形時(shí),判斷以下命題是否正確:“直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)都在這條拋物線上,且DFx軸,那么△ACP與△DEF斜邊上的高相等”,如果正確請予以證明,不正確請舉出反例.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,拋物線y=x2-2x-2交x軸于A、B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為C,經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為M.
          (1)求圓心M的坐標(biāo);
          (2)求⊙M上劣弧AB的長;
          (3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使線段OC和MD互相平分?若存在,直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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