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        1. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形ABCO的頂點A、C分別在y軸、x軸正半軸上,點P在AB上,PA=1,AO=2.經(jīng)過原點的拋物線y=mx2-x+n的對稱軸是直線x=2.
          (1)求出該拋物線的解析式.
          (2)如圖1,將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點放在P點處,兩直角邊恰好分別經(jīng)過點O和C.現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究:
          ①將三角板從圖1中的位置開始,繞點P順時針旋轉(zhuǎn),兩直角邊分別交OA、OC于點E、F,當(dāng)點E和點A重合時停止旋轉(zhuǎn).請你觀察、猜想,在這個過程中,
          PE
          PF
          的值是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,說明理由;若不發(fā)生變化,求出
          PE
          PF
          的值.
          ②設(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為D,頂點為M,在①的旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在點F,使△DMF為等腰三角形?若不存在,請說明理由.
          (1)∵拋物線y=mx2-x+n經(jīng)過原點,∴n=0.
          ∵對稱軸為直線x=2,∴-
          -1
          2m
          =2,解得m=
          1
          4

          ∴拋物線的解析式為:y=
          1
          4
          x2-x.

          (2)①
          PE
          PF
          的值不變.理由如下:
          如答圖1所示,過點P作PG⊥x軸于點G,則PG=AO=2.

          ∵PE⊥PF,PA⊥PG,∴∠APE=∠GPF.
          在Rt△PAE與Rt△PGF中,
          ∵∠APE=∠GPF,∠PAE=∠PGF=90°,
          ∴Rt△PAERt△PGF.
          PE
          PF
          =
          PA
          PG
          =
          1
          2

          ②存在.
          拋物線的解析式為:y=
          1
          4
          x2-x,
          令y=0,即
          1
          4
          x2-x=0,解得:x=0或x=4,∴D(4,0).
          又y=
          1
          4
          x2-x=
          1
          4
          (x-2)2-1,∴頂點M坐標(biāo)為(2,-1).
          若△DMF為等腰三角形,可能有三種情形:
          (I)FM=FD.如答圖2所示:

          過點M作MN⊥x軸于點N,則MN=1,ND=2,MD=
          MN2+ND2
          =
          12+22
          =
          5

          設(shè)FM=FD=x,則NF=ND-FD=2-x.
          在Rt△MNF中,由勾股定理得:NF2+MN2=MF2,
          即:(2-x)2+1=x2,解得:x=
          5
          4
          ,
          ∴FD=
          5
          4
          ,OF=OD-FD=4-
          5
          4
          =
          11
          4
          ,
          ∴F(
          11
          4
          ,0);
          (II)若FD=DM.如答圖3所示:

          此時FD=DM=
          5
          ,∴OF=OD-FD=4-
          5

          ∴F(4-
          5
          ,0);
          (III)若FM=MD.
          由拋物線對稱性可知,此時點F與原點O重合.
          而由題意可知,點E與點A重合后即停止運動,故點F不可能運動到原點O.
          ∴此種情形不存在.
          綜上所述,存在點F(
          11
          4
          ,0)或F(4-
          5
          ,0),使△DMF為等腰三角形.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,已知A(0,1)、D(4,3),P是以AD為對角線的矩形ABDC內(nèi)部(不在各邊上)的一個動點,點C在y軸上,拋物線y=ax2+bx+1以P為頂點.
          (1)能否判斷拋物線y=ax2+bx+1的開口方向?請說明理由.
          (2)設(shè)拋物線y=ax2+bx+1與x軸有交點F、E(F在E的左側(cè)),△EAO與△FAO的面積之差為3,且這條拋物線與線段AD有一個交點的橫坐標(biāo)為
          7
          2
          ,這時能確定a、b的值嗎?若能,請求出a、b的值;若不能,請確定a、b的取值范圍.(本題的圖形僅供分析參考用)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A坐標(biāo)為(2,4),直線x=2與x軸相交于點B,連接OA,拋物線y=x2從點O沿OA方向平移,與直線x=2交于點P,頂點M到A點時停止移動.
          請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點M,使得線段PB最短;若存在,請求出此時點M的坐標(biāo).若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點C,與x軸交于點A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),頂點M的縱坐標(biāo)為-3,若x1,x2是關(guān)于方程x2+(m+1)x+m2-12=0(其中m<0)的兩個根,且x12+x22=10.
          (1)求A、B兩點的坐標(biāo);
          (2)求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo);
          (3)在拋物線上是否存在點P,使△PAB的面積等于四邊形ACBM的面積的2倍?若存在,求出所有符合條件點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象經(jīng)過點A(-1,0),頂點為B.
          (1)求這個二次函數(shù)的解析式;
          (2)若點C的坐標(biāo)為(4,0),連接BC,過點A作AE⊥BC,垂足為點E.當(dāng)點D在直線AE上,且滿足DE=1時,求點D的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,在直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點,A(3,0)、B(m,
          6
          5
          )是以O(shè)A為直徑的⊙M上的兩點,且tan∠AOB=
          1
          2
          ,BH⊥x軸,垂足為H
          (1)求H點的坐標(biāo);
          (2)求圖象經(jīng)過A、B、O三點的二次函數(shù)的解析式;
          (3)設(shè)點C為(2)中的二次函數(shù)圖象的頂點,問經(jīng)過B、C兩點的直線是否與⊙M相切,請說明理由.
          注:拋物線y=ax2+bx+c(c≠0)的頂點為(-
          b
          2a
          4ac-b2
          4a
          )

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A、B、C,已知A(-1,0),B(3,0).
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)如圖1,P為線段BC上一點,過點P作y軸平行線,交拋物線于點D,當(dāng)△BDC的面積最大時,求點P的坐標(biāo);
          (3)如圖2,在(2)的條件下,延長DP交x軸于點F,M(m,0)是x軸上一動點,N是線段DF上一點,當(dāng)△BDC的面積最大時,若∠MNC=90°,請直接寫出實數(shù)m的取值范圍.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,拋物線y=x2-2x-2交x軸于A、B兩點,頂點為C,經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心為M.
          (1)求圓心M的坐標(biāo);
          (2)求⊙M上劣弧AB的長;
          (3)在拋物線上是否存在一點D,使線段OC和MD互相平分?若存在,直接寫出點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          體育課上,老師用繩子圍成一個周長為30米的游戲場地,圍成的場地是如圖所示的矩形ABCD.設(shè)邊AB的長為x(單位:米),矩形ABCD的面積為S(單位:平方米).
          (1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍);
          (2)若矩形ABCD的面積為50平方米,且AB<AD,請求出此時AB的長.

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          同步練習(xí)冊答案