Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（x₀，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸是直線x=-1，tan∠BAC=2，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）確定A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過B、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若過點(diǎn)（0，3）且平行于x軸的直線與（2）小題中所求拋物線交于M、N兩點(diǎn)，以MN為一邊，拋物線上任意一點(diǎn)P（x，y）為頂點(diǎn)作平行四邊形，若平行四邊形的面積為S，寫出S關(guān)于P點(diǎn)縱坐標(biāo)y的函數(shù)解析式；
（4）當(dāng)

1

2

＜x＜4時(shí)，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有，請(qǐng)求出；若無，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0）
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是

x0+2

2

=-1，x₀=-4，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-4，0）
∵tan∠BAC=2即

OC

|OA|

=2，可得OC=8
∴C（0，8）
∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，0）；

（2）設(shè)過三點(diǎn)的拋物線解析式為y=a（x-2）（x-4），
代入點(diǎn)C（0，8），解得a=1．
∴拋物線的解析式是y=x²-6x+8；

（3）∵拋物線y=x²-6x+8與過點(diǎn)（0，3）平行于x軸的直線相交于M點(diǎn)和N點(diǎn)
∴M（1，3），N（5，3），
而拋物線的頂點(diǎn)為（3，-1），
當(dāng)y＞3時(shí)，
S=4（y-3）=4y-12，
當(dāng)-1≤y＜3時(shí)，
S=4（3-y）=-4y+12；

（4）以MN為一邊，P（x，y）為頂點(diǎn)，且當(dāng)＜x＜4的平行四邊形面積最大，只要點(diǎn)P到MN的距離h最大
∴當(dāng)x=3，y=-1時(shí)，h=4，
S=4h=4×4=16，
∴滿足條件的平行四邊形面積有最大值16．