Question

3．如圖，直線y=2x-a（a＜0）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)E，拋物線y=x²-2x+a的頂點(diǎn)為C，與y軸交于點(diǎn)B，直線BC與直線AE交于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出a的值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=0代入到y(tǒng)=x²-2x+a求點(diǎn)B的坐標(biāo)，將二次函數(shù)的解析式配方可求C的坐標(biāo)，求直線BC的解析式，再求直線BC和直線AE的交點(diǎn)D；
（2）存在，分兩種情況：①以AB為對角線時，如圖1，根據(jù)OD=OP確定P的坐標(biāo)后代入拋物線的解析式中，求a的值，計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②以AB為邊時，如圖2，根據(jù)PD=AB列式得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=a，
∴B（0，a），
y=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，
∴頂點(diǎn)C（1，a-1），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（0，a）、C（1，a-1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=a}\\{k+b=a-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=a}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-x+a，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{y=2x-a}\end{array}\right.$     解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2a}{3}}\\{y=\frac{a}{3}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{2a}{3}$，$\frac{a}{3}$）；

（2）存在一點(diǎn)P，使得以P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
分兩種情況：
①以AB為對角線時，如圖1，
∵A（0，-a），B（0，a），
∴OA=OB，
∴O是?ADBP對角線的交點(diǎn)，
∴OD=OP，
∵D（$\frac{2a}{3}$，$\frac{a}{3}$），
∴P（-$\frac{2a}{3}$，-$\frac{a}{3}$），
∵P在拋物線上，
∴-$\frac{a}{3}$=$（-\frac{2a}{3}）^{2}$-2×$（-\frac{2a}{3}）$+a，
解得：a=-6，
當(dāng)a=-6時，-$\frac{2a}{3}$=-$\frac{2×（-6）}{3}$=4，
-$\frac{a}{3}$=-$\frac{-6}{3}$=2，
∴P（4，2）；
②以AB為邊時，如圖2，
∵四邊形ADBP是平行四邊形，
∴AB=PD=-2a，AB∥PD，
∵AB⊥x軸，
∴PD⊥x軸，
∵D（$\frac{2a}{3}$，$\frac{a}{3}$），
∴P（$\frac{2a}{3}$，-$\frac{5a}{3}$），
∴-$\frac{5a}{3}$=$（\frac{2a}{3}）^{2}-2×\frac{2a}{3}$+a，
a=-3，
當(dāng)a=-3時，$\frac{2a}{3}$=$\frac{2×（-3）}{3}$=-2，
-$\frac{5a}{3}$=-$\frac{5×（-6）}{3}$=10，
∴P（-2，10）；
綜上所述，使得以P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時點(diǎn)P（4，2）或（-2，10），對應(yīng)a的值分別為-6或-3．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同時對于第2問構(gòu)成平行四邊形時，要采用分類討論的思想解決．