Question

．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，連接PB，那么PA、PB、PC之間會(huì)有怎樣的等量關(guān)系呢？經(jīng)過(guò)思考后，部分同學(xué)進(jìn)行了如下的交流：

小蕾：我將圖形進(jìn)行了特殊化，讓點(diǎn)P在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上（如圖1），得到了一個(gè)猜想：PA²+PC²=PB²．

小東：我假設(shè)點(diǎn)P在∠ABC的內(nèi)部，根據(jù)題目條件，這個(gè)圖形具有“共端點(diǎn)等線(xiàn)段”的特點(diǎn)，可以利用旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分別是等邊三角形、直角三角形，就能得到猜想和證明方法．

這時(shí)老師對(duì)同學(xué)們說(shuō)，請(qǐng)大家完成以下問(wèn)題：

（1）如圖2，點(diǎn)P在∠ABC的內(nèi)部，

①PA=4，PC=，PB=　　　　　　．

②用等式表示PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（2）對(duì)于點(diǎn)P的其他位置，是否始終具有②中的結(jié)論？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)舉例說(shuō)明．

Answer 1

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．

【分析】（1）根據(jù)結(jié)論代入即可填寫(xiě)；

（2）根據(jù)△ABP≌△CBP′得出PA=P′C，∠A=∠BCP′，即可得出PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，得出PA²+PB²=PC²．

【解答】解：（1）①PB==．

故答案為：；

②PA²+PC²=PB²，

證明：作∠PBP′=∠ABC=60°，且使BP′=BP，連接P′C、P′P，如圖1：

∴∠1=∠2，

∵AB=CB，

在△ABP與△CBP′中，

，

∴△ABP≌△CBP′，

∴PA=P′C，∠A=∠BCP′，

在四邊形ABCP中，

∵∠ABC=60°，∠APC=30°，

∴∠A+∠BCP=270°，

∴∠BCP′+∠BCP=270°，

∴∠PCP′=360°﹣（∠BCP′+∠BCP）=90°，

∵△PBP′是等邊三角形，

∴PP′=PB，

在Rt△PCP′中，P'C²+PC²=P'P²，

∴PA²+PC²=PB²；

（2）點(diǎn)P在其他位置時(shí)，不是始終具有②中猜想的結(jié)論，舉例：

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，

結(jié)論為PA²+PB²=PC²．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性質(zhì)．