Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，cos∠CBD=，則sin∠ABD=　　　　　　．

Answer 1

　　．

 

【考點(diǎn)】解直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．

【專題】計(jì)算題．

【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AB，如圖所示．設(shè)BD=4x，可根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理求出BC、CD（AD）、AC、AB的值（用x表示），要求sin∠ABD，只需求出DH的值（用x表示），只需證明△AHD∽△ACB，并利用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．

【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥AB，如圖所示．

在Rt△BCD中，

cos∠CBD==．

設(shè)BD=4x，則BC=x，

∴CD==x．

∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

∴AD=CD=x，

∴AC=2x，AB==x．

∵∠A=∠A，∠DHA=∠C=90°，

∴△AHD∽△ACB，

∴=，

∴=，

∴DH=．

在Rt△BHD中，

sin∠ABD==．

故答案為．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，題目中若涉及到三角函數(shù)，通常需放到直角三角形中考慮．