Question

圖1中，二次函數(shù)y=﹣ax²﹣4ax﹣的圖象c交x軸于A，B兩點（A在B的左側(cè)），過A點的直線交c于另一點C（x₁，y₁），交y軸于M．

（1）求點A的坐標，并求二次函數(shù)的解析式；

（2）過點B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，﹣3）且Q點是直線AC上的一個動點．求出當△DBQ與△AOM相似時點Q的坐標；

（3）設P（﹣1，2），圖2中連CP交二次函數(shù)的圖象于另一點E（x₂，y₂），連AE交y軸于N．OM•ON是否是一個定值？如果是定值，求出該值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）由直線y=kx+3k求出點A坐標，代入拋物線解析式即可解決問題．

（2）分四種情形討論①如圖1中，當Q在DA的延長線上時，∠BQD=30°，△BQD～△AOM，②當Q與點A重合時，∠BQD=60°△DQB～△OAM，③如圖2中，當Q在線段DC上時，∠BQD=60°，△DQB～△OAM，④如圖3中，當∠BQD=30°時，△DQB～△OMA分別解直角三角形即可．

（3）求出直線PC的解析式，與拋物線組成方程組求出點E坐標，再求出直線AE后求出點N坐標，用k表示OM、ON即可解決問題．

【解答】（1）解：y=0，kx+3k=0解之得x=﹣3，所以A（﹣3，0），

因為A（﹣3，0）在y=﹣ax²﹣4ax﹣，所以0=﹣9a+12a﹣，

解之可得a=，

所以該二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=﹣x²﹣x﹣，

（2）在Rt△AOM中，OA=3，OM=3tan∠OAM==，所以∠OAM=60°，

①如圖1中，當Q在DA的延長線上時，∠BQD=30°，△BQD∽△AOM，

在Rt△ABD中，BD=BA×sin60°=，

在Rt△BQD中，BD=OQ×sin30°=，解得BQ=2，

過Q作在QQ′⊥x軸垂足為Q′，

∵∠BAD=60°=∠BQA+∠QBA，∠BQD=30°，

∴∠QBQ′=30°，

在RT△BQQ′中，∵∠QBQ′=30°，BQ=2，

QQ′=，BQ′=3，

所以Q（﹣4，）．

②當Q與點A重合時，∠BQD=60°△DQB∽△OAM，此點Q（﹣3，0）．

③如圖2中，當Q在線段DC上時，∠BQD=60°，△DQB∽△OAM，

在△AQB中，∠BAQ=∠AQB=60°，

得BQ=AB=2，

所以Q（﹣2，﹣）．

④如圖3中，當∠BQD=30°時，△DQB∽△OMA，此時BQ∥OM

設Q（﹣1，y）在直線y=﹣x﹣3﹣上，解得y=﹣2，

從而Q（﹣1，﹣2）．

綜上所述，Q（﹣4，）或Q（﹣3，0）或Q（﹣2，﹣）或Q（﹣1，﹣2）．

（3）如圖4中，直線y=kx+3k與二次函數(shù)y=﹣x²﹣x﹣圖象的交點是A，C兩點，

所以，整理可得+（k+1）x+（+3k）=0，

又因為A（﹣3，0），C（x₁，y₁），

所以x₁=﹣4k﹣1，y₁=﹣4k²+2k，

過點P（﹣1，2）與點C的直線：Y=x++2，

直線PC與拋物線的交點，，消去y整理得到：

x²+（1+）x+=0，

∴x₂+x₁=x₂+（﹣4k﹣1）=﹣，

∴x₂=﹣1﹣，y₂=，

∴直線AE為y=x+，

∴OM=﹣3k，ON=﹣，

∴OM•ON=（﹣3k）（﹣）=．

∴OM•ON是定值，這個定值是．

 

 

 

 

 

【點評】本題考查二次函數(shù)的有關知識、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，學會待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式是解題的關鍵，學會用參數(shù)表示直線解析式、點的坐標，掌握分類討論的思想，屬于中考壓軸題．