Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（4，3），動(dòng)點(diǎn)N，P分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)N以1單位/秒的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以5/4單位/秒的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連結(jié)NP，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4）

（1）直接寫(xiě)出OA，AB，AC的長(zhǎng)度；

（2）求證：△CPN∽△CAB；

（3）在兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)M同時(shí)以1單位/秒的速度從點(diǎn)O向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，求△MPN的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式（三角形的面積不能為0），并直接寫(xiě)出當(dāng)S＝時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．

Answer 1

【答案】（1）OA＝4，AB＝3，AC＝5；（2）見(jiàn)解析；（3）t的值為（3﹣）秒

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)和已知條件得出OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，由勾股定理求出AC＝＝5；

（2）由題意得BN＝t，AP＝t，證出＝，得出PN∥AB，即可得出△CPN∽△CAB；

（3）①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，延長(zhǎng)NP交OA于D，由相似三角形的性質(zhì)得＝＝，求出PD＝t，AD＝t，得出PN＝3﹣t，DM＝4﹣2t，由三角形面積公式即可得出答案；

②2＜t＜4時(shí)，延長(zhǎng)NP交OA于D，由相似三角形的性質(zhì)得出＝＝，即＝＝，求出PD＝t，AD＝t，得出PN＝3﹣t，DM＝2t﹣4，由三角形面積公式即可得出答案；再把S＝分別代入兩個(gè)關(guān)系式，解方程即可．

（1）證明：∵四邊形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），

∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，

∴AC＝＝＝5；

（2）解：由題意得：BN＝t，AP＝t，

∵＝，＝＝，

∴＝，

∴PN∥AB，

∴△CPN∽△CAB；

（3）解：分兩種情況：

①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，延長(zhǎng)NP交OA于D，如圖1所示：

由（2）得：PD∥AB，

∴△APD∽△ACO，

∴＝＝，即＝＝，

解得：PD＝t，AD＝t，

∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，

∴△MPN的面積S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，

即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；

②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，延長(zhǎng)NP交OA于D，如圖2所示：

由（2）得：PD∥AB，

∴△APD∽△ACO，

∴＝＝，即＝＝，

解得：PD＝t，AD＝t，

∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，

∴△MPN的面積S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，

即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；

當(dāng)S＝，0＜t＜2時(shí)，則t2﹣t+6＝，

整理得：t2﹣6t+6＝0，

解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合題意舍去），

∴t＝3﹣；

當(dāng)S＝，2＜t＜4時(shí)，則﹣t2+t﹣6＝，

整理得：t2﹣6t+10＝0，

∵△＝36﹣40＜0，

∴此方程無(wú)解；

綜上所述，當(dāng)S＝時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為（3﹣）秒．