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        1. 1.(1)如圖①,O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),OA=6,OB=8,OC=10,將線段BO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO',連結(jié)線段OO',AO',試判斷△AOO'的形狀.
          (2)點(diǎn)D是以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),且BD=1,CD=2,AD=3.
          (Ⅰ)求∠BDC的度數(shù);
          (Ⅱ)求△ABC的面積.

          分析 (1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO′,∠OBO′=60°,則△OBO′為等邊三角形,所以O(shè)O′=OB=8,則可判斷△ABC為等邊三角形,所以∠ABC=60°,BA=BC,接著利用旋轉(zhuǎn)的定義可把△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BO′A,于是得到AO′=CO=10,然后根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△AOO'為直角三角形,∠AOO′=90°;
          (2)(Ⅰ)將△CBD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAD′,如圖②,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCD′=90°,∠CD′A=∠CDB,CD′=CD=2,AD′=BD=1,則可判斷△CDD′為等腰直角三角形,所以∠CD′D=45°,DD′=$\sqrt{2}$CD=2$\sqrt{2}$,然后根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△ADD'為直角三角形,∠AD′D=90°;則∠AD′C=135°,所以∠BDC=135°;
          (Ⅱ)利用△CDD′為等腰直角三角形得到∠CDD′=45°,再判斷點(diǎn)B、D、D′共線得到△BD′A為直角三角形,然后利用△ABC的面積=S△CDD′+S△BD′A進(jìn)行計(jì)算.

          解答 解:(1)∵線段BO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO',
          ∴BO=BO′,∠OBO′=60°,
          ∴△OBO′為等邊三角形,
          ∴OO′=OB=8,
          ∵△ABC為等邊三角形,
          ∴∠ABC=60°,BA=BC,
          ∴△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BO′A,
          ∴AO′=CO=10,
          在△AOO′中,∵AO′=10,AO=6,OO′=8,
          而62+82=102
          ∴OA2+OO′2=AO′2,
          ∴△AOO'為直角三角形,∠AOO′=90°;
          (2)(Ⅰ)將△CBD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAD′,如圖②,
          ∴∠DCD′=90°,∠CD′A=∠CDB,CD′=CD=2,AD′=BD=1,
          ∴△CDD′為等腰直角三角形,
          ∴∠CD′D=45°,DD′=$\sqrt{2}$CD=2$\sqrt{2}$,
          在△ADD′中,AD=3,AD′=1,DD′=2$\sqrt{2}$,
          而12+(2$\sqrt{2}$)2=32,
          ∴D′A2+AD2=DD′2
          ∴△ADD'為直角三角形,∠AD′D=90°;
          ∴∠AD′C=135°,
          ∴∠BDC=135°;
          (Ⅱ)∵△CDD′為等腰直角三角形,
          ∴∠CDD′=45°,
          而∠BDC=135°;
          ∴∠CDD′+∠BDC=180°,
          ∴點(diǎn)B、D、D′共線,
          ∴△BD′A為直角三角形,
          ∴△ABC的面積=S△CDD′+S△BD′A
          =$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×1×(1+2$\sqrt{2}$)
          =$\frac{5}{2}$+$\sqrt{2}$.

          點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角直角三角形的判定與性質(zhì).

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