Question

16．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的圖象與直線y=3x相交于點(diǎn)C，過(guò)直線上點(diǎn)A（1，3）作AB⊥X軸于點(diǎn)B，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，且AB=3BD
（1）求K的值；
（2）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在y軸上確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到C、D兩點(diǎn)距離之和d=PC+PD最小，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A坐標(biāo)，以及AB=3BD求出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值；
（2）直線y=3x與反比例解析式聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于M，則d=MC+MD最小，得到C′（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$），求得直線C′D的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+1+$\sqrt{3}$，直線與y軸的交點(diǎn)即為所求．

解答 解：（1）∵A（1，3），
∴AB=3，OB=1，
∵AB=3BD，
∴BD=1，
∴D（1，1）
將D坐標(biāo)代入反比例解析式得：k=1；

（2）由（1）知，k=1，
∴反比例函數(shù)的解析式為；y=$\frac{1}{x}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∵x＞0，
∴C（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$）；

（3）如圖，作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于P，則d=PC+PD最小，
∴C′（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$），
設(shè)直線C′D的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}k+b}\\{1=k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3+2\sqrt{3}}\\{b=-2+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y=（-3+2$\sqrt{3}$）x+2$\sqrt{3}$-2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2$\sqrt{3}$-2，
∴P（0，2$\sqrt{3}$-2）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及直線與反比例的交點(diǎn)求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．