Question

2．已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G．
（1）判斷AC與圖中的那條線(xiàn)段相等，并證明你的結(jié)論；
（2）若CE的長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，求BG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BD=CD，根據(jù)AAS證明Rt△DFB與Rt△DAC全等即可；
（2）連結(jié)CG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和勾股定理解答即可．

解答 （1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD，
∵BE⊥AC于E，
∴∠BEC=90°，
∵∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA，
在Rt△DFB與Rt△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠DCA}\\{∠FDB=∠CDA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC，
∴BF=AC；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵BE⊥AC于E，
∴∠BEA=∠BEC=90°，
又∵BE=BE，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC，
∴CE=AE．
連結(jié)CG，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
又H是BC邊的中點(diǎn)，
∴DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠EBC=22.5°，
∴∠GCB=22.5°，
∴∠EGC=45°，
∴Rt△CEG是等腰直角三角形，
∵CE的長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，
∴EG=$\sqrt{3}$，
利用勾股定理得：CE²+GE²=GC²，
∴${（\sqrt{3}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}=G{C^2}$，
∴$GC=\sqrt{6}$，
∴BG的長(zhǎng)為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．