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設(shè)直線過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F，且交C于點M，N，設(shè)．
（I）若p=2，λ=4，求MN所在的直線方程；
（II）若p=2，4≤λ≤9，求直線MN在y軸上截距的取值范圍；
（III）拋物線C的準線l與x軸交于點E，求證：的夾角為定值．

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設(shè)直線過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F，且交C于點M，N，設(shè)

MF

=λ

FN

(λ＞0)．
（I）若p=2，λ=4，求MN所在的直線方程；
（II）若p=2，4≤λ≤9，求直線MN在y軸上截距的取值范圍；
（III）拋物線C的準線l與x軸交于點E，求證：

EF

與

EM

-λ

EN

的夾角為定值．

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如圖，已知橢圓C的中心在原點，其一個焦點與拋物線的焦點相同，又橢圓C上有一點M（2，1），直線l平行于OM且與橢圓C交于A、B兩點，連MA、MB．
（1）求橢圓C的方程．
（2）當MA、MB與x軸所構(gòu)成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

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如圖，已知橢圓C的中心在原點，其一個焦點與拋物線y2=4

6

x的焦點相同，又橢圓C上有一點M（2，1），直線l平行于OM且與橢圓C交于A、B兩點，連MA、MB．
（1）求橢圓C的方程．
（2）當MA、MB與x軸所構(gòu)成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

C

A

A

D

C

B

A

D

B

B

二、填空題

13．   14.     15.７５００    16.

三、解答題

１７．證明：（Ⅰ）取AB的中點M,連FM,MC, ┅┅┅┅2分

∵ F、M分別是AE、BA的中點  

∴ FM∥EB, FM=EB=CD, ┅┅┅┅┅┅┅４分

∵ EB、CD都垂直于平面ABC 

∴ CD∥BE∴ CD∥FM,

∴四邊形FMCD是平行四邊形,

∴ FD∥MC.又∵

∴FD∥平面ABC                 ┅┅┅┅┅┅┅６分          

（Ⅱ）∵M是AB的中點，CA=CB，

∴CM⊥AB, ┅┅┅┅┅┅┅８分

又  CM⊥BE, ∴CM⊥面EAB, ∴CM⊥BF, ∴FD⊥BF, ┅┅┅┅┅┅┅１０分

∵F是AE的中點, EB=AB∴BF⊥EA. ∴BF⊥平面ADE      ┅┅┅┅┅┅┅１２分

18解：

（Ⅰ）實數(shù)對有

共16種不同的情況，有16條不同的直線．┅┅┅┅┅┅┅４分

當實數(shù)對為時，直線的斜率，直線傾斜角大于，

所以直線傾斜角大于的概率為；┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）直線在x軸上的截距與在y軸上截距之差，即，┅┅┅┅┅┅┅８分

當實數(shù)對為時，┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以直線在x軸上的截距與在y軸上截距之差小于7的概率為. ┅┅┅┅１２分

19解：（1）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因為，所以，所以，

即的取值范圍為 ┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因為，所以 ┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值為，當即為等邊三角形時取到. ┅┅┅┅┅┅┅１２分

20解：（Ⅰ）的首項為，所以 ┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以是等差數(shù)列，首項為，公差為1

┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即 ┅┅┅┅┅┅┅７分

令  ①

則  ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１２分

21解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點為頂點的三角形，∵，∴為直角三角形，                 ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圓C以原點O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為．

∵2a=4，∴a=2．又，可得．

∴所求圓C與橢圓C₁的方程分別是和． ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ2） F，設(shè)，,

當時，Q點為（），可得，∴PFOQ.

當時，，可以解得，也有PFOQ.  ┅┅┅6分

當且時，OP的斜率為，則切線PQ的斜率為，則PQ的方程為：化簡為：，          ┅┅┅8分

與交得Q點坐標為             ┅┅┅10分

則，

∴PFOQ.

綜上，直線PF與直線OQ垂直.                       ┅┅┅12分

22解：（Ⅰ） ┅┅┅┅┅┅┅２分

①當，即，在Ｒ上有，所以在Ｒ單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②當，即，當時，在上有，所以在Ｒ單調(diào)遞增；當時，在上有，所以在Ｒ單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③當，即

兩個根分別為，所以在上有，即在單調(diào)遞增；

在上有，即在單調(diào)遞減．┅┅┅┅┅┅┅８分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當時函數(shù)有極值，

當時，，所以不符合題意.

當時，，此時函數(shù)的極值點都為正數(shù)

┅┅┅┅┅┅┅１０分

有極大值，極小值，所以

，

又因為，

所以

=，┅┅┅┅┅┅┅１２分

令，則，所以時單調(diào)遞增，所以，即極值之和小于. ┅┅┅┅┅┅┅１４分